三角形ABC中,AP是角A的平分线,求证AB:AC=BP:PC

Question

三角形ABC中,AP是角A的平分线,求证AB :AC=BP:PC

Answer 1

已知,如图,AM为△ABC的角平分线,求证AB/AC=MB/MC 已知和证明1图
证明：方法1：（面积法） 　　S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,　　S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,　　∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 　　又△ABM和△ACM是等高三角形,面积的比等于底的比,
证明2
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 　　∴AB/AC=MB/MC 　　方法2（相似形） 　　过C作CN∥AB交AM的延长线于N 　　则△ABM∽△NCM 　　∴AB/NC=BM/CM 　　又可证明∠CAN=∠ANC 　　∴AC=CN 　　∴AB/AC=MB/MC 证明3图
方法3（相似形） 　　过M作MN∥AB交AC于N 　　则△ABC∽△NMC,　　∴AB/AC=MN/NC 　　而在△ABC内,∵MN∥AB 　　∴AN/NC=BM/MC 　　又可证明∠CAM=∠AMN 　　∴AN=MN 　　∴AB/AC=AN/NC 　　∴AB/AC=MB/MC
方法4（正弦定理） 　　作三角形的外接圆,AM交圆于D(起标明交点作用,对证明无影响） 　　由正弦定理,得,AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,　　AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 　　又∠BAM=∠CAM,∠BMA+∠AMC=180° 　　sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,　　∴AB/AC=MB/MC
这是三角形角平分线性质定理