如何用生成函数求数列的递推公式用生成函数求ak=3ak-1,k=1,2,...,且初始条件a0=2以及类似问题

Question

如何用生成函数求数列的递推公式
用生成函数求 ak=3ak-1,k=1,2,...,且初始条件a0=2
以及类似问题

Answer 1

首先,你这个就是递推公式,你应该想要的是通项公式
设Ak-t=3[(Ak-1)-t]
拆开后对比得到-3t+t=-1
得到t=0.5
所以Ak-0.5=3[(Ak-1)-0.5]
所以Ak=3的k次方*（A0-0.5）+0.5
因为A0=2
所以Ak=1.5*3的k次方+0.5 (k=1,2.)
这个做法是通用做法.当然本道题k=0也满足该式,不过并没要求包括,所以不应该写出.
不过有时候题目要求写出第一项,而且并不满足通项公式,则需单独写明.