已知数列{an}各项均为正数,Sn是它的前n项和,且2Sn=a^2n+an,点Pn(an,bn)都在直线l:y=2x+2上（1）求数列{an},{bn}的通项公式（2）求证：1／│p1p2│^2+1／│p1p3│^2+...+1／│p1pn│^2＜2／5（n≥2,n∈N*）

Question

已知数列{an}各项均为正数,Sn是它的前n项和,且2Sn=a^2n+an,点Pn(an,bn)都在直线l:y=2x+2上
（1）求数列{an},{bn}的通项公式
（2）求证：1／│p1p2│^2+1／│p1p3│^2+...+1／│p1pn│^2＜2／5 （n≥2,n∈N*）

Answer 1

设m=a^2,下式取n=1有a1=m
n=2 a2=m^2-2m
n=3 a3=m^3-2m^2+2m
2Sn=m^n+an
2Sn-1=m^(n-1)+an-1
两式减：2an=an-an-1 +m^n-m^(n-1)
an=-an-1 +m^n-m^(n-1)
递推：　-an-1=an-2 -m^(n-1)+m^(n-2)
an-2=-an-3 +m^n(n-2)-m^(n-3)
.
(-1)^(n-2)a2=-(-1)^(n-2)a1 +(-1)^(n-2)m^2 -(-1)^(n-2)m^1
各式相加：an=-(-1)^(n-2)a1 +m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2-(-1)^(n-2)m^1
=m^n-2m^(n-1)+2m^(n-2)-2m^(n-3)...+(-1)^(n-2)*2m^2+(-1)^(n-1)*2m
　　　　　　＝m^n+2m*(-1)^(n-1)[1+(-m)+(-m)^2+...+(-m)^(n-2)]
=m^n-2m*(-1)^n*[1+(-m)^(n-1)]/(1+m)