已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,则四边形ABCD是等腰梯形吗?为什么?

Question

已知四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC,则四边形ABCD是等腰梯形吗?为什么?

Answer 1

分析:要证明四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=CD,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可;又因为AD≠BC,故只需要证AD‖BC即可.
证明:方法一:如图(1)
过A、D做BC的垂线AF,DH,垂足分别为F、H.
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∵AF⊥BC,DH⊥BC, ∴ AF=DH.
∵AF‖DH, ∴四边形AFHD是矩形,所以AD‖BC.
∵AB=CD, ∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法二:如图(2).过点A做AE‖DC交BC于点E. ∴∠DCB=∠AEB.
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB, ∴∠ABC=∠AEB, ∴AB=AE.
∵AB=DC,∴AE=DC. ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AD‖BC.
∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法三:如图(3)分别延长BA、CD相交于点G.
∵AB=DC,AC=DB,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA. ∴∠BAD=∠CDA,∠GAD=∠GDA, ∴AG=DG.AG+AB=GD+CD.BG=CG.
∴∠GAD=∠GBC.AD‖BC. ∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法四:如图(4)过点D做DM‖AC,交BC的延长线于点M. ∴∠ACB=∠M,
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB.
∴∠ACB=∠DBC, ∴∠DBC=∠M, ∴DB=DM
∵AC=DB,∴AC=DM. ∴四边形ACMD是平行四边形, ∴AD‖BC.
∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形