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设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)〈a,f(b)〉b,证明:方程f(x)=x在(a,b)内至少有一实根
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设函数f(x)在[a,b ]上连续,且f(a)〈a ,f(b)〉b ,证明:方程f(x)=x 在(a,b )内至少有一实根
▼优质解答
答案和解析
作辅助函数F(x)=f(x)-x,显然在[a,b ]上连续,则
F(a)=f(a)-a,因为f(a)〈a,所以
f(a)-a<0
又
F(b)=f(b)-b,因为f(b)>b,所以
f(b)-b>0
即
F(a)F(b)<0
由零点定理,知
方程f(x)=x 在(a,b )内至少有一实根
F(a)=f(a)-a,因为f(a)〈a,所以
f(a)-a<0
又
F(b)=f(b)-b,因为f(b)>b,所以
f(b)-b>0
即
F(a)F(b)<0
由零点定理,知
方程f(x)=x 在(a,b )内至少有一实根
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