在边长6分米的正方形内,有一个小圆沿其内侧各边滚动一周回到出发点,小圆圆心运动的路线总长是16分米.1.小圆的半径是多少?2.小圆扫过区域的面积与小圆未扫过区域的面积相差多少平方分

Question

在边长6分米的正方形内,有一个小圆沿其内侧各边滚动一周回到出发点,小圆圆心运动的路线总长是16分米.
1.小圆的半径是多少?
2.小圆扫过区域的面积与小圆未扫过区域的面积相差多少平方分米?
3.若小圆未扫过的正方形中心区域、及小圆圆心运动的路线形成的图形中各画出一个最大的圆,圆环的面积是多少?

Answer 1

1.小圆在正方形中滚动的时候会出现两种情况,a沿着边滚动,圆心轨迹是一条直线,b经过正方形一个角的时候,其轨迹是90度垂直的两条线,由于在某边滚动的时候,圆心离正方形该边的距离是圆的半径,圆心的轨迹是一个正方形.总长16dm,说明该轨迹的边长是4dm,轨迹离正方形边的距离是（6-4）/2=1dm
2. 这样,小圆无法扫到正方形的中心.其扫过的面积就可以想象成：是以小圆直径为长度的刷子,在正方形四周刷一遍,刷出的面积再减去小圆到四个角时候角上够不着的面积.
先算刷出来的面积：中间没被刷到的也是个正方形,其面积是（6-1×2）^=16dm^,大正方形的面积是6×6=36dm^,刷到的面积就是36-16=20dm^
小圆无法扫到的面积其实有4个,之和是以小圆直径为边长的正方形与小圆面积的差值=2×2-π×1×1=4-π（dm^）
那么小圆扫过的面积就是=20-(4-π)=16+π（dm^）
3.小圆圆心形成的图形就是边长为4的正方形,没有扫过的区域是边长为2的正方形,这两个图形的中间部分就是画圆的部分,那么圆的半径最短应该大于边长为2的小正方形的边长的一半长,即1,其面积是πdm^.最大,不能超过边长为4的大正方形边长的一半,即半径是2,面积是π×2×2=4πdm^.两者的差是3πdm^.