a=1是函数f（x）=a-e^x/1+ae^2在其定义域上是奇函数的条件

Question

a=1是函数f（x）=a-e^x/1+ae^2在其定义域上是奇函数的 条件

Answer 1

f(x）= (a-e^x) /(1+ae^x)为奇函数
f(-x) = -f(x)
(a-e^(-x)) /(1+ae^(-x)) = - (a-e^x) /(1+ae^x)
- (1+ae^(-x)) (a-e^x) = (a-e^(-x))(1+ae^x)
-a - a^2e^(-x) + e^x + a = a - e^(-x) +a^2e^x - a
- a^2e^(-x) + e^x = - e^(-x) +a^2e^x
-(a^2-1)e^(-x) = (a^2-1)e^x
(a^2-1)(e^x+e(-x)) = 0
∵(e^x+e(-x)) ＞ 0
∴a^2-1=0,a=±1
∴a=±1是函数f（x）=a-e^x/1+ae^2在其定义域上是奇函数的【充分必要】 条件
∴a=1是函数f（x）=a-e^x/1+ae^2在其定义域上是奇函数的【充分不必要】 条件