在湖面上高h米处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,求云离湖面的高度

Question

在湖面上高h米处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,求云离湖面的高度

Answer 1

如图： 建立三角关系：
对于顶上的那个三角形（角a）,有：
Sin(a)*P=(x-h) --> P=(x-h)/sin(a)
和
d= [p^2-(x-h)^2]^1/2 注： p^2为P的平方, []^1/2为[]的开根号
对于下面的三角形（角 B）,有：
d=tan(B)/(x+h)
化简掉P,d
(x+h)/[p^2-(x-h)^2]^1/2=tan(B)
(x+h)/[[(x-h)/sin(a)]^2-(x-h)^2]^1/2=tan(B)
(x+h)/[(x-h)^2[(1-sin(a)^2)/sin(a)^2]]^1/2=tan(B)
因为：
1-sin(a)^2=cos(a)^2
所以带入上式,得到
(x+h)/[(x-h)*(cos(a))/sin(a)]=tan(B)
展开,并根据sin(a)/cos(a)=tan(a),
(x+h)*tan(a)=(x-h)*tan(B)
x=h*(tan(B)+tan(a))/(tan(B)-tan(a))
上式右边分母上下同乘以cos(a)*cos(b)可得：
x=[sin(B)cos(a)+cos(b)sin(a)]/[sin(B)cos(a)-cos(b)sin(a)]*h
=sin(a+b)/sin(b-a)*h