关于x的方程a^2sin^2x-(a+1)sinx-a-1=0在区间(0,2π)有且仅有两相异实根,求a取值范围.

Question

关于x的方程a^2sin^2x-(a+1)sinx-a-1=0在区间(0,2π)有且仅有两相异实根,求a取值范围.

Answer 1

显然当a=0时,原方程为sinx=-1
因x∈(0,2π),则x=3π/2,仅一根,不符合题意
所以a≠0

因a≠0,原方程可视为关于sinx的二次方程
注意到,关于sinx的方程有解才能使得关于x的方程有解
于是必有⊿=(a+1)^2+4a^2(a+1)≥0
即(a+1)(4a^2+a+1)≥0
而4a^2+a+1>0恒成立（因f(a)=4a^2+a+1其开口向上而⊿-1


在上述条件下解关于sinx的二次方程得
sinx={(a+1)±√[(a+1)(4a^2+a+1)]}/(2a^2)
易知(a+1)(4a^2+a+1)>(a+1)^2
于是sinx={(a+1)+√[(a+1)(4a^2+a+1)]}/(2a^2)>0
而sinx={(a+1)-√[(a+1)(4a^2+a+1)]}/(2a^2)