高中必修一数学题关于函数的3道1.已知函数f（x）=ax^3+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]的奇函数,则a=b=2.设y=f（x）的定义域为{x不等于0,x属于R},且对于任意实数X1,X2,都有f（x1乘x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求

Question

高中必修一数学题关于函数的3道
1.已知函数f（x）=ax^3+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]的奇函数,则a= b=
2.设y=f（x）的定义域为{x不等于0,x属于R},且对于任意实数X1,X2,都有f（x1乘x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求证：f(1)=f(-1)=0;(2)求证：f(x)为偶函数.

Answer 1

解
[1]f(x)是奇函数,则定义域关于原点对称,则a-1+2a=0,a=1/3
f(x)=(x^3/3)+bx+b+1
-f(x)=(-x^3/3)-bx-b-1
f(-x)=(-x^3/3)-bx+b+1
f(-x)=-f(x)
-bx-b-1=-bx+b+1
b=-1
a=1/3 b=-1
[2]f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
令x1=x2=1
f(1)=2f(1)
f(1)=0
令x1=x2=-1
f(1)=2f(-1),f(-1)=0
所以f(1)=f(-1)=0
因为f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
则f(x)=f(x*1)=f[x*(-1)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
得证.