已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2．（1）求f（x）的解析式；（2）若tanα+1tanα=5，求2f(2α-π4)-11-tanα的值．

Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为√(4+π2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα+(1)/(tanα)=5，求(√(2)f(2α-(π)/(4))-1)/(1-tanα)的值．

Answer 1

（1）设最高点为（x₁，1），最低点为（x₂，-1），
则|x1-x2|=(T)/(2)(T＞0)，
∴(T2)/(4)+4=4+π2，T=2π，则ω=1．
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（x）=sin（ωx+φ为偶函数，
∴sinφ=±1，φ=kπ+(π)/(2)，k∈Z．
∵0≤φ≤π，
∴φ=(π)/(2)．
则f（x）=sin（x+(π)/(2)）=cosx；
（2）∵tanα+(1)/(tanα)=5，
∴sinαcosα=(1)/(5)．
(√(2)f(2α-(π)/(4))-1)/(1-tanα)=(√(2)cos(2α-(π)/(4))-1)/(1-tanα)=2sinαcosα=(2)/(5)．