已知{an}为递减的等比数列，且{a1，a2，a3}⊊{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当bn＝1−(−1)n2an时，求证：b1+b2+b3+…+b2n−1<163．

Question

已知{a_n}为递减的等比数列，且{a₁，a₂，a₃}⊊{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当bn＝(1−(−1)n)/(2)an时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b2n−1<(16)/(3)．

Answer 1

（Ⅰ）∵{a_n}是递减数列，∴数列{a_n}的公比q是正数，
∵{a₁，a₂，a₃}⊊{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}，
∴a₁=4，a₂=2，a₃=1，∴q＝(a2)/(a1)＝(1)/(4)＝(1)/(2)，
∴an＝a1qn−1＝(8)/(2n)．
（Ⅱ）由（1）得，bn＝(1−(−1)n)/(2)an＝(8[1−(−1)n])/(2n+1)，
当n=2k（k∈N^*）时，b_n=0，
当n=2k-1（k∈N^*）时，b_n=a_n，
即bn＝

0，(n＝2k，k∈N*)

an，(n＝2k−1，k∈N*).

∴b₁+b₂+b₃+…+b_2n-2+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1
=(4[1−((1)/(4))n])/(1−(1)/(4))
=(16)/(3)[1−((1)/(4))n]<(16)/(3)．