已知函数f(x)=x2+ax+4x(x≠0)．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

Question

已知函数f(x)=(x2+ax+4)/(x)(x≠0)．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知，f（x）的定义域关于原点对称，
若f（x）为奇函数，则f(-x)=((-x)2+a(-x)+4)/(-x)=-f(x)，
即((-x)2+a(-x)+4)/(-x)=-(x2+ax+4)/(x)，解得a=0．
（2）由f（x）=(x2+ax+4)/(x)得，f′(x)=1-(4)/(x2)，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得a＞-(13)/(3)，
故a的取值范围为a＞-(13)/(3)．