求解一个简单的微分方程a*y''=b+c*y其中a,b,c均为常数,解答者可以自己赋值,我只要方法.紧急紧急!y是x的函数.

Question

求解一个简单的微分方程 a*y''=b+c*y
其中a,b,c均为常数,解答者可以自己赋值,我只要方法.紧急紧急!
y 是x 的函数.

Answer 1

这道题用降价法就可以轻松求解.
令z=y',则y''=zdz/dy,带入原方程得到z关于y的一解微分方程
azdz/dy=b+cy
解之得
z2/2=by+c/2y2+m1；此方程记为（1）,其中m1为任意常数.
把z=dy/dx带入（1）,又等于一个y关于x的一阶微分方程
y'2=2by+c/y2+m1
解之可得通解.
也可以用老方法求：
先求齐次通解,特征多项式aλ2-c=0,解得λ1=(a/c)^(1/2),λ2=-(a/c)^(1/2)
齐次通解为y=c1expλ1x+c2expλ2x；记为（2）,其中c1,c2为任意常数,符号expt表示e的t次方符号a^b表示a的b次方.
设原方程有通解Y=Ax+B,带入原方程比较系数,可得A=0,B=-b.
所以原方程的通解为y=(2)-b.