如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）若A、B的坐标分别是A(35，45)，B(−513，1213)，求cos（β-α）；（2）若点C(−1，3)，求函数f(α)＝OA•OC的值

Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A、B的坐标分别是A((3)/(5)，(4)/(5))，B(−(5)/(13)，(12)/(13))，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．
A((3)/(5)，(4)/(5))，B(−(5)/(13)，(12)/(13))，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．(3)/(5)3355(4)/(5)4455B(−(5)/(13)，(12)/(13))，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．(5)/(13)551313(12)/(13)12121313
(−1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．1 ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域． ， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．， √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域． √(3))，求函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域．√(3)

3

3f(α)＝

OA

•

OC

的值域．

OA

OAOA

OC

OCOC

Answer 1

（1）∵A((3)/(5)，(4)/(5))，B(−(5)/(13)，(12)/(13))都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝(3)/(5)，sinα＝(4)/(5)，cosβ＝−(5)/(13)，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） A((3)/(5)333555，(4)/(5)444555)，B(−(5)/(13)，(12)/(13))都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝(3)/(5)，sinα＝(4)/(5)，cosβ＝−(5)/(13)，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） B(−(5)/(13)555131313，(12)/(13)121212131313)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝(3)/(5)，sinα＝(4)/(5)，cosβ＝−(5)/(13)，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） cosα＝(3)/(5)333555，sinα＝(4)/(5)，cosβ＝−(5)/(13)，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） sinα＝(4)/(5)444555，cosβ＝−(5)/(13)，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） cosβ＝−(5)/(13)555131313，sinβ＝(12)/(13)．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） sinβ＝(12)/(13)121212131313．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13))×(3)/(5)+(12)/(13)×(4)/(5)＝(33)/(65)．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−(5)/(13)555131313)×(3)/(5)333555+(12)/(13)121212131313×(4)/(5)444555＝(33)/(65)333333656565．       （ 6分）
（2）由题意，可知

OA

＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分）

OA

OAOAOA＝(cosα，sinα)，

OC

＝(−1，√(3))．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分）

OC

OCOCOC＝(−1，√(3)

3

33)．
∴f(α)＝

OA

•

OC

＝√(3)sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6))，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） f(α)＝

OA

OAOAOA•

OC

OCOCOC＝√(3)

3

33sinα−cosα＝2sin(α−(π)/(6)πππ666)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） 0＜α＜(π)/(2)πππ222，∴−(π)/(6)＜α−(π)/(6)＜(π)/(3)，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） −(π)/(6)πππ666＜α−(π)/(6)πππ666＜(π)/(3)πππ333，可得−(1)/(2)＜sin(α−(π)/(6))＜(√(3))/(2)
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） −(1)/(2)111222＜sin(α−(π)/(6)πππ666)＜(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222
由此可得：−1＜f(α)＜√(3)，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） −1＜f(α)＜√(3)

3

33，
∴函数f(α)＝

OA

•

OC

的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） f(α)＝

OA

OAOAOA•

OC

OCOCOC的值域为(−1，√(3))．     （ 13分） (−1，√(3)

3

33)．     （ 13分）