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如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)若A、B的坐标分别是A(35,45),B(−513,1213),求cos(β-α);(2)若点C(−1,3),求函数f(α)=OA•OC的值
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(1)若A、B的坐标分别是A(
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(2)若点C(−1 ,
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OA |
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A(
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(2)若点C(−1 ,
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OA |
OC |
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(2)若点C(−1 ,
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OA |
OC |
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(−1 ,
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OA |
OC |
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵A(
,
),B(−
,
)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义,得cosα=
,sinα=
,cosβ=−
,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) A(
3 3 35 5 5,
4 4 45 5 5),B(−
,
)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义,得cosα=
,sinα=
,cosβ=−
,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) B(−
5 5 513 13 13,
12 12 1213 13 13)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义,得cosα=
,sinα=
,cosβ=−
,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) cosα=
3 3 35 5 5,sinα=
,cosβ=−
,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) sinα=
4 4 45 5 5,cosβ=−
,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) cosβ=−
5 5 513 13 13,sinβ=
.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) sinβ=
12 12 1213 13 13.
因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
)×
+
×
=
. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
5 5 513 13 13)×
3 3 35 5 5+
12 12 1213 13 13×
4 4 45 5 5=
33 33 3365 65 65. ( 6分)
(2)由题意,可知
=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分)
OA OA OA=(cosα,sinα),
=(−1,
).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分)
OC OC OC=(−1,
3 3 3).
∴f(α)=
•
=
sinα−cosα=2sin(α−
),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) f(α)=
OA OA OA•
OC OC OC=
3 3 3sinα−cosα=2sin(α−
π π π6 6 6),
∵0<α<
,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) 0<α<
π π π2 2 2,∴−
<α−
<
,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) −
π π π6 6 6<α−
π π π6 6 6<
π π π3 3 3,可得−
<sin(α−
)<
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) −
1 1 12 2 2<sin(α−
π π π6 6 6)<
3 3 32 2 2
由此可得:−1<f(α)<
,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) −1<f(α)<
3 3 3,
∴函数f(α)=
•
的值域为(−1,
). ( 13分) f(α)=
OA OA OA•
OC OC OC的值域为(−1,
). ( 13分) (−1,
3 3 3). ( 13分)
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∴根据三角函数的定义,得cosα=
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
OC |
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π |
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∵0<α<
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π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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∴根据三角函数的定义,得cosα=
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
OC |
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∵0<α<
π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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∴根据三角函数的定义,得cosα=
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
OC |
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∵0<α<
π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
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∵0<α<
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
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∵0<α<
π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
OA |
OC |
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π |
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∵0<α<
π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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因此,cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=(−
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(2)由题意,可知
OA |
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∴f(α)=
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π |
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∵0<α<
π |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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(2)由题意,可知
OA |
OC |
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∴f(α)=
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∵0<α<
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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∴f(α)=
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∵0<α<
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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∵0<α<
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
OA |
OC |
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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由此可得:−1<f(α)<
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∴函数f(α)=
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∴函数f(α)=
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