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如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）若A、B的坐标分别是A(35，45)，B(−513，1213)，求cos（β-α）；（2）若点C(−1，3)，求函数f(α)＝OA•OC的值

题目详情
如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A、B的坐标分别是A(
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，
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)，B(−
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，
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)，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， 
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)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．
A(
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，
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)，B(−
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，
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)，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， 
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)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．
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3355
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4455B(−
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，
12
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)，求cos（β-α）；
（2）若点C(−1 ， 
3
)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．
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551313
12
13
12121313
(−1 ， 
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)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．1 ， 
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)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．1 ， 
3
)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域． ， 
3
)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．， 
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)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．， 
3
)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域． 
3
)，求函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域．
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3f(α)＝
OA
•
OC
的值域．
OA
OAOA
OC
OCOC
▼优质解答
答案和解析
（1）∵A(
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，
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)，B(−
5
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，
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13
)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝
3
5
，sinα＝
4
5
，cosβ＝−
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13
，sinβ＝
12
13
．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
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)×
3
5
+
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×
4
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＝
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65
．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
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＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
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)．     （ 13分） A(
3
5
333555，
4
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444555)，B(−
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，
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)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝
3
5
，sinα＝
4
5
，cosβ＝−
5
13
，sinβ＝
12
13
．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
13
)×
3
5
+
12
13
×
4
5
＝
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．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
6
＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） B(−
5
13
555131313，
12
13
121212131313)都在单位圆上
∴根据三角函数的定义，得cosα＝
3
5
，sinα＝
4
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，cosβ＝−
5
13
，sinβ＝
12
13
．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
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13
)×
3
5
+
12
13
×
4
5
＝
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．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
6
＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） cosα＝
3
5
333555，sinα＝
4
5
，cosβ＝−
5
13
，sinβ＝
12
13
．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
13
)×
3
5
+
12
13
×
4
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＝
33
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．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
6
＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） sinα＝
4
5
444555，cosβ＝−
5
13
，sinβ＝
12
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．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
13
)×
3
5
+
12
13
×
4
5
＝
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．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
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＜α−
π
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＜
π
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，可得−
1
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＜sin(α−
π
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)＜
3
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由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） cosβ＝−
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555131313，sinβ＝
12
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．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
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)×
3
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+
12
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×
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＝
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．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
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＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） sinβ＝
12
13
121212131313．
因此，cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
13
)×
3
5
+
12
13
×
4
5
＝
33
65
．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
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＜α−
π
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＜
π
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，可得−
1
2
＜sin(α−
π
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)＜
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由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
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)．     （ 13分） cos(β−α)＝cosβcosα+sinβsinα＝(−
5
13
555131313)×
3
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333555+
12
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121212131313×
4
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444555＝
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333333656565．       （ 6分）
（2）由题意，可知
OA
＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
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＜α−
π
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＜
π
3
，可得−
1
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＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分）
OA
OAOAOA＝(cosα，sinα)，
OC
＝(−1，
3
)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
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)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
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＜α−
π
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＜
π
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，可得−
1
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＜sin(α−
π
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)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分）
OC
OCOCOC＝(−1，
3
3
33)．
∴f(α)＝
OA
•
OC
＝
3
sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
6
＜α−
π
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＜
π
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，可得−
1
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＜sin(α−
π
6
)＜
3
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由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） f(α)＝
OA
OAOAOA•
OC
OCOCOC＝
3
3
33sinα−cosα＝2sin(α−
π
6
πππ666)，
∵0＜α＜
π
2
，∴−
π
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＜α−
π
6
＜
π
3
，可得−
1
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＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） 0＜α＜
π
2
πππ222，∴−
π
6
＜α−
π
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＜
π
3
，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） −
π
6
πππ666＜α−
π
6
πππ666＜
π
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πππ333，可得−
1
2
＜sin(α−
π
6
)＜
3
2

由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） −
1
2
111222＜sin(α−
π
6
πππ666)＜
3
2
3
3
3
3
33222
由此可得：−1＜f(α)＜
3
，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） −1＜f(α)＜
3
3
33，
∴函数f(α)＝
OA
•
OC
的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） f(α)＝
OA
OAOAOA•
OC
OCOCOC的值域为(−1，
3
)．     （ 13分） (−1，
3
3
33)．     （ 13分）
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