在平面直角坐标系xOy中，角α，β(0＜α＜π2，π2＜β＜π)的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为513，35．（Ⅰ）求tanβ的值；

Question

在平面直角坐标系xOy中，角α，β (0＜α＜(π)/(2)， (π)/(2)＜β＜π)的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为(5)/(13)，(3)/(5)．
（Ⅰ）求tanβ的值；
（Ⅱ）求△AOB的面积．α，β (0＜α＜(π)/(2)， (π)/(2)＜β＜π)的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为(5)/(13)，(3)/(5)．
（Ⅰ）求tanβ的值；
（Ⅱ）求△AOB的面积．(π)/(2)ππ22(π)/(2)ππ22(5)/(13)，(3)/(5)．
（Ⅰ）求tanβ的值；
（Ⅱ）求△AOB的面积．(5)/(13)551313(3)/(5)3355

Answer 1

（I）∵在单位圆中，B点的纵坐标为(3)/(5)，
∴sinβ=(3)/(5)，
∵(π)/(2)＜β＜π，
∴cosβ=-√(1−sin2β)=-(4)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (3)/(5)333555，
∴sinβ=(3)/(5)，
∵(π)/(2)＜β＜π，
∴cosβ=-√(1−sin2β)=-(4)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (3)/(5)333555，
∵(π)/(2)＜β＜π，
∴cosβ=-√(1−sin2β)=-(4)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (π)/(2)πππ222＜β＜π，
∴cosβ=-√(1−sin2β)=-(4)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． √(1−sin2β)

1−sin2β

1−sin2β1−sin2β2β=-(4)/(5)，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (4)/(5)444555，
则tanβ=(sinβ)/(cosβ)=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (sinβ)/(cosβ)sinβsinβsinβcosβcosβcosβ=-(3)/(4)；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (3)/(4)333444；
（II）∵在单位圆中，A点的纵坐标为(5)/(13)，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (5)/(13)555131313，∴sinα=(5)/(13)，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (5)/(13)555131313，
∵0＜α＜(π)/(2)，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (π)/(2)πππ222，∴cosα=√(1−sin2α)=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． √(1−sin2α)

1−sin2α

1−sin2α1−sin2α2α=(12)/(13)，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (12)/(13)121212131313，
由（I）得sinβ=(3)/(5)，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (3)/(5)333555，cosβ=-(4)/(5)，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (4)/(5)444555，
∴sin∠AOB=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=(56)/(65)，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (56)/(65)565656656565，
又∵|OA|=1，|OB|=1，
∴S_△AOB△AOB=(1)/(2)|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (1)/(2)111222|OA|•|OB|sin∠AOB=(28)/(65)． (28)/(65)282828656565．