已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=-1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、f(3)的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为

Question

已知定义在R⁺上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=-1；②对任意x、y∈R⁺都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（9）、f(√(3))的值；
（2）证明：函数f（x）在R⁺上为减函数；
（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x-1）-2．

Answer 1

（1）令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2
令x=y=√(3)得f(√(3))+f(√(3))＝f(3)＝−1∴f(√(3))＝−(1)/(2)
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈R⁺
f(x2)＝f((x2)/(x1)x1)＝f((x2)/(x1))+f(x1)＜f(x1)
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（3）不等式等价于

6x＞9(x−1)

6x＞0

x−1＞0

，
解得1＜x＜3．