“已知｜z+3i｜=1,求｜z+4+5i｜的最值.如题急等

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“已知｜z+3i｜=1,求｜z+4+5i｜的最值.
如题
急等

▼优质解答

答案和解析

｜z+4+5i｜=｜(z+3i)+(4+2i)｜≤｜(z+3i)|+|(4+2i)｜=1+2√5,所以｜z+4+5i｜有最大值1+2√5.
又｜z+4+5i｜=｜(z+3i)+(4+2i)｜≥|｜(z+3i)|-|(4+2i)｜| =|1-2√5| =2√5-1,
所以｜z+4+5i｜有最小值2√5-1.
另外,用几何法可立得.
｜z+3i｜=1表示以C(0,-3)为圆心,r=1为半径的圆,｜z+4+5i｜则表示上述圆上的动点到定点A(-4,-5)的距离,其最大、最小值分别为|AC|+r=2√5+1和|AC| -r=2√5-1.

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