（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（

Question

（2013•日照）问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为

2√(2)

2√(2)

．
（2）知识拓展：
如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

2√(2)

√(2)√(2)

2

2

2√(2)

√(2)√(2)

2

2

Answer 1

（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC′，连接C′E．
根据垂径定理得

BD

=

DE

．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=(√(2))/(2)AC′=2√(2)，
即AP+BP的最小值是2√(2)．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×

BD

BDBDBD=

DE

．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=(√(2))/(2)AC′=2√(2)，
即AP+BP的最小值是2√(2)．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×

DE

DEDEDE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=(√(2))/(2)AC′=2√(2)，
即AP+BP的最小值是2√(2)．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10× (√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222AC′=2√(2)，
即AP+BP的最小值是2√(2)．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10× √(2)

2

22，
即AP+BP的最小值是2√(2)．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10× √(2)

2

22．
故答案为：2√(2)；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10× √(2)

2

22；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴∠B′AM=∠BAM，
在△B′AM和△BAM中

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

AB′＝AB

∠B′AM＝∠MAB

AM＝AM

AB′＝ABAB′＝ABAB′＝AB∠B′AM＝∠MAB∠B′AM＝∠MAB∠B′AM＝∠MABAM＝AMAM＝AMAM＝AM，
∴△B′AM≌△BAM（SAS），
∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，
∴点B与点B′关于直线AD对称．
过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，
则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×