已知定点A（4，0）到等轴双曲线x2-y2=a2（a＞0）上的点的最近距离为5，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A的距离为5的点的坐标．

Question

已知定点A（4，0）到等轴双曲线x²-y²=a²（a＞0）上的点的最近距离为√(5)，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A的距离为√(5)的点的坐标．

Answer 1

设点P（x，y）是双曲线x²-y²=a²上任意一点，
则|AP|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+（x²-a²）=2（x-2）²+8-a²
∵|x|≥a，
∴（1）当0＜a≤2时，
在x=2时，|AP

|

2 min

＝8−a2＝5，
∴a2＝3，a＝√(3)，
此时双曲线方程为x²-y²=3，
双曲线上离A距离为√(5)的点为（2，1）或（2，-1）
（2）当a＞2时，在x=a时，|AP

|

2 min

＝2(a−2)2+8−a2＝5，
∴a＝4+√(5)．
此时双曲线方程为x2−y2＝21+8√(5)，
双曲线上离A距离为√(5)的点的坐标为(4+√(5)，0)．