已知直线L:X+Y-9=0,园M:2X^2+2Y^2-8X-8Y-1=0,点A在直线L上,B,C在园M上,在△ABC中,角BAC=45°,AB过圆心M,求A的横坐标的取值范围

Question

已知直线L:X+Y-9=0,园M:2X^2+2Y^2-8X-8Y-1=0,点A在直线L上,B,C在园M上,在△ABC中,角BAC=45°,AB过圆心M,求A的横坐标的取值范围

Answer 1

圆M方程可改写为
(x-2)^2+(y-2)^2=(√34/2)^2
说明M的圆心为 O(2,2),半径r=√34/2.
A点在直线L上,所以当横坐标x=4,纵坐标=5,
AB通过圆心O（2,2）所以AB的斜率k1=(5-2)/(4-2) =3/2 .(1)
设AC的斜率k2,AB、AC夹角为45°
=> tan45=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=1
k2=(-1 ±k1)/(k1 ±1) .(2)
将k1=3/2代入得
k2=(-1+3/2)/(3/2+1)=(1/2)/(5/2)=1/5
或k2=(-1-3/2)/(3/2-1)=(-5/2)/(1/2)=-5
AC有两条直线满足条件,由
可得其方程分别是：
y-5=(1/5)(x-4) => x-5y+21=0
y-5=(-5)(x-4) => 5x+y-15=0
求A点横坐标范围：设A的横坐标为a,则A点坐标为(a,9-a).由于C在圆M上因此AC必须与圆M存在交点.也就是,圆心O至AC的距离必须小于半径,现在由圆心向AC作垂线,垂足为D,在直角三角形AOD中,由于角OAD=45°,所以OD=AO* √2/2=√[(a-2)^2+(9-a-2)^2]*√2/2≤√34/2
=> (a-3)(a-6)≤0
=> 3≤a≤6