若f(x)在x=x0处连续,那么.limf(x)/(x-x0)=A的充分必要条件是f(x0)=0,f(x0)的一次导数为A,请问怎么证?

Question

若f(x)在x=x0处连续,那么.limf(x)/(x-x0)=A的充分必要条件是f(x0)=0,f(x0)的一次导数为A,请问怎么证?

Answer 1

先证必要性：
由limf(x)/(x-x0)=A
因为分母是趋于0的,而且该式子的极限存在,所以分子应该也是趋于0的,而且f(x)在x0处连续
所以limf(x)=0=f(x0)
所以极限可一写为lim（f(x)-f(x0))/(x-x0)=A
由导数定义知道x0点的导数f`(x0)=A
再证充分性：
因为f(x0)的一次导数为A
所以有 lim（f(x)-f(x0))/(x-x0)=A
因为f(x0)=0
所以limf(x)/(x-x0)=A
证毕