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求证：若n是一个不等于2和5的质数,则a的倍数中必有一个数,他的所有数位上都是1
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求证：若n是一个不等于2和5的质数,则a的倍数中必有一个数,他的所有数位上都是1
▼优质解答
答案和解析
取1,11,111,……,11……1,（n+1个1）,一共n+1个数
因为除以n得到的余数从0到n-1,一共n种可能
所以n+1个数除以n,必有两个余数相等
设这两个数是ak和am,k>m
其中ak=k个1,am=m个1
则ak-am能被n整除
ak-am=11……10……0,k-m个1,后面m个0
=11……1*10^m
因为n是一个不等于2和5的质数
所以n和10^m互质
所以11……1,k-m个1能被n整除
命题得证
因为除以n得到的余数从0到n-1,一共n种可能
所以n+1个数除以n,必有两个余数相等
设这两个数是ak和am,k>m
其中ak=k个1,am=m个1
则ak-am能被n整除
ak-am=11……10……0,k-m个1,后面m个0
=11……1*10^m
因为n是一个不等于2和5的质数
所以n和10^m互质
所以11……1,k-m个1能被n整除
命题得证
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