4.椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0相交于A与B两点,过AB的中点M与坐标原点的直线斜率为√2/2,则m/n的值为————

Question

4.椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0相交于A与B两点,过AB的中点M与坐标原点的直线斜率为√2/2,则m/n的值为————

Answer 1

设A(x1,y1)B(x2,y2)
∵mx²+ny²=1,∴m>0且n>0,∴m+n>0
联立椭圆和直线得：mx²+n(1-x)²=1,即(m+n)x²-2nx+n-1=0
则x1+x2=2n/(m+n),则y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2m/(m+n)
M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即M(n/(m+n),m/(m+n))
则OM的斜率为[m/(m+n)]/[n/(m+n)]=m/n=√2/2
即m/n=√2/2