已知：AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点P,∠APC＝45°,设⊙O的半径是R,求证：PC2＋PD2＝2R2.分析：从待证的等式中,我们注意到左式是两线段的平方和,不妨考虑构造直角三角形,从勾股定理的关

Question

已知：AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点P,∠APC＝45°,设⊙O的半径是R,求证：PC2＋PD2＝2R2.
分析：从待证的等式中,我们注意到左式是两线段的平方和,不妨考虑构造直角三角形,从勾股定理的关系推出结论.
证明：作CE⊥AB,E是垂足,DF⊥AB,F是垂足,连接OC、OD

Answer 1

PC2+PD2=PE2+CE2+PF2+DF2=(OE-OP)2+CE2+(OP+OF)2+DF2
=OE2-2OEOP+OP2+CE2+OP2+2OPOF+OF2+DF2=R2+R2+2OP2+2OP(OF-OE)
角ECO=角ECP+角PCO=角DPF+角PDO=角DOF
三角形DOF全等于三角形OCE
OE=DF=PF
OF=PE
OE-OF=OP
代入上式
PC2＋PD2=2R2+2OP2-2OP2=2R2