一道高二直线与方程数学题已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0与直线X+2Y-3=0相交于PQ两点,若OP垂直于OQ,O为原点,求实数M的值.就像答卷格式那样

Question

一道高二直线与方程数学题
已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0与直线X+2Y-3=0相交于PQ两点,若OP垂直于OQ,O为原点,求实数M的值.
就像答卷格式那样

Answer 1

圆x^2+y^2+x-6y+m=0
本身可以化为标准式子:
(x+1/2)^2+(y-3)^2=9+1/4-m=(37-4m)/4
圆心坐标为(-1/2,3),则
过圆心,且与直线x+2y-3=0垂直的直线为y=2x+4
二者的交点就是PQ为直径的圆心坐标:(-1,2)
到(0,0)点距离的平方=半径的平方=5
半径为√5
则P点坐标为(-3,3),Q点坐标为(1,1)
代入得m=3