已知P是抛物线y^2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A（3.5,4）,求PA/+/PM/的最短距离

Question

已知P是抛物线y^2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A（3.5,4）,
求PA/+/PM/的最短距离

Answer 1

抛物线y^2=2x的焦点为F(1/2,0).
/PA/+/PM/=/PA/+d-1/2=/PA/+/PF/-1/2.
当A、P、F三点共线时,/PA/+/PF/最小.
直线AF的斜率为：k=4/(3.5-0.5)=4/3,方程为：y=(4/3)(x-1/2),4x-3y-2=0.
4*(y^2/2)-3y-2=0,y=2或y=-1/2(舍去),x=2.
所以P(2,2)./PA/+/PM/的最短距离=√[(3.5-2)^2+(4-2)^2]+2=9/2