设△ABC定点坐标A(0,a),B(-√3a,0),C(√3a,0)其中a>0,圆M为△ABC的外接圆(1)求圆M的方程(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由

Question

设△ABC定点坐标A(0,a),B(-√3a,0),C(√3a,0)其中a>0,圆M为△ABC的外接圆
(1)求圆M的方程
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由

Answer 1

(1)△ABC是等腰三角形,对称轴为x=0.外接圆的圆心肯定在x=0上.作AC的中垂线,垂足为D,交y轴于M.M即为外接圆的圆心.因为A(0,a),C(√3a,0),故∠MAC=60°,AD=AC/2=√[a^2+(√3a)^2]/2=a.△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形.故AM=2a.所以,点M的坐标为(0,-a).圆的半径r=MA=MB=MC=2a.
故,圆M的方程为：x^2+(y+a)^2=4a^2 (a＞0).
(2)假设圆M过某一定点(x,y).那么当a变化时,圆M仍然过点(x,y),此点不会随着a的变化而变化.那么,现在令a变成了b,即a≠b.
有,x^2+(y+b)^2=4b^2
两式相减得：(y+a)^2-(y+b)^2=4a^2-4b^2.化简得：(2y+a+b)(a-b)=4(a+b)(a-b).
因为a≠b,即a-b≠0,所以,2y+a+b=4(a+b).得：y=3(a+b)/2.
得出,y是一个根据a和b取值而变化的量.与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾!
所以,圆M不过定点.