某单极发电机的简化原理如图所示．在长直线圈中垂直于线圈对称轴上固定一根半径为r的圆形金属导轨，可自由转动的金属杆CD位于线圈对称轴上，杆上固连一长为r的金属棒OA，可随杆转动

Question

某单极发电机的简化原理如图所示．在长直线圈中垂直于线圈对称轴上固定一根半径为r的圆形金属导轨，可自由转动的金属杆CD位于线圈对称轴上，杆上固连一长为r的金属棒OA，可随杆转动，金属棒的另一端与圆形金属导轨接触良好．CD杆右侧固连一圆盘，其半径为(r)/(2)，并绕有细线，在恒力拉动下，圆盘和杆一起旋转．构成线圈的导线一端通过电刷P连接到杆CD上，另一端连接到圆形金属导轨Q点，回路的等效总电阻为R．线圈放置在磁感应强度为B₀的匀强磁场中，方向水平向右．（提示：当线圈中通有电流I时，电流在线圈内产生的磁感应强度大小B=aI，其中a是由线圈决定的常数）

（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，求金属棒OA两端电动势；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，求回路电流强度I；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，求作用在细线上的恒力大小F．(r)/(2)，并绕有细线，在恒力拉动下，圆盘和杆一起旋转．构成线圈的导线一端通过电刷P连接到杆CD上，另一端连接到圆形金属导轨Q点，回路的等效总电阻为R．线圈放置在磁感应强度为B₀的匀强磁场中，方向水平向右．（提示：当线圈中通有电流I时，电流在线圈内产生的磁感应强度大小B=aI，其中a是由线圈决定的常数）

（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，求金属棒OA两端电动势；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，求回路电流强度I；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，求作用在细线上的恒力大小F．(r)/(2)r2rr22<sub>0


0
0</sub>

Answer 1

（1）由法拉第电磁感应定律，则有：E=Brv=(1)/(2)B0ωr2
（2）线圈内总磁感应强度：B′=B₀+B
而B=αI，
且I=(E)/(R)=B′(1)/(2R)ω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (1)/(2)12111222B0ωr2
（2）线圈内总磁感应强度：B′=B₀+B
而B=αI，
且I=(E)/(R)=B′(1)/(2R)ω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 0ωr2
（2）线圈内总磁感应强度：B′=B₀+B
而B=αI，
且I=(E)/(R)=B′(1)/(2R)ω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 2
（2）线圈内总磁感应强度：B′=B₀0+B
而B=αI，
且I=(E)/(R)=B′(1)/(2R)ω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (E)/(R)EREEERRR=B′(1)/(2R)ω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． B′(1)/(2R)12R1112R2R2Rω0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 0r2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 2
解得：I=(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)B0r2ω02R-αr2ω0B0r2ω0B0r2ω0B0r2ω00r2ω02ω002R-αr2ω02R-αr2ω02R-αr2ω02ω00
应有：ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． ω0<(2R)/(αr2)
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 0<(2R)/(αr2)2Rαr22R2R2Rαr2αr2αr22
（3）金属棒稳定转动时，则有：Fv=I²2R；
而v=(ω0r)/(2)
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (ω0r)/(2)ω0r2ω0rω0rω0r0r222
解得：F=(2I2R)/(rω0)=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (2I2R)/(rω0)2I2Rrω02I2R2I2R2I2R2Rrω0rω0rω00=((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． ((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)B0r2ω02R-αr2ω0B0r2ω0B0r2ω0B0r2ω00r2ω02ω002R-αr2ω02R-αr2ω02R-αr2ω02ω00)2•(2R)/(ω0)
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 2•(2R)/(ω0)2Rω02R2R2Rω0ω0ω00
答：（1）断开开关S，当金属棒转速为ω时，金属棒OA两端电动势为(1)/(2)B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (1)/(2)12111222B0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 0ωr2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． 2；
（2）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀0转动时，回路电流强度I为(B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． (B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)B0r2ω02R-αr2ω0B0r2ω0B0r2ω0B0r2ω00r2ω02ω002R-αr2ω02R-αr2ω02R-αr2ω02ω00；
（3）闭合开关S，当金属棒以稳定转速ω₀0转动时，不计摩擦阻力，作用在细线上的恒力大小F为((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0))2•(2R)/(ω0)． ((B0r2ω0)/(2R-αr2ω0)B0r2ω02R-αr2ω0B0r2ω0B0r2ω0B0r2ω00r2ω02ω002R-αr2ω02R-αr2ω02R-αr2ω02ω00)2•(2R)/(ω0)． 2•(2R)/(ω0)2Rω02R2R2Rω0ω0ω00．