早教吧作业答案频道 -->数学-->
利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
题目详情
利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
▼优质解答
答案和解析
证明：方法1（定义法）：设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
∵f′（x）=
，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(x+△x)-f(x) △x f(x+△x)-f(x) f(x+△x)-f(x) f(x+△x)-f(x)△x △x △x，
∴f′（-x）=
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(-x+△x)-f(-x) △x f(-x+△x)-f(-x) f(-x+△x)-f(-x) f(-x+△x)-f(-x)△x △x △x=
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
-f(x-△x)+f(x) △x -f(x-△x)+f(x) -f(x-△x)+f(x) -f(x-△x)+f(x)△x △x △x=
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
lim △x→0 lim lim lim△x→0 △x→0 △x→0
=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
f(x-△x)-f(x) -△x f(x-△x)-f(x) f(x-△x)-f(x) f(x-△x)-f(x)-△x -△x -△x=f′（x），
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
∵f′（x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(x+△x)-f(x) |
| △x |
∴f′（-x）=
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(-x+△x)-f(-x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| -f(x-△x)+f(x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| lim |
| △x→0 |
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
| f(x-△x)-f(x) |
| -△x |
即f′（x）是偶函数，
同理，若f（x）是；偶函数，则f′（x）奇函数
方法2（公式法）：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
则f′（x）=-f′（-x）•（-x）′=f′（-x），
即f′（x）是偶函数．
若f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x），
则f′（x）=f′（-x）•（-x）′=-f′（-x），
即f′（x）是奇函数．
看了 利用导数的定义证明奇函数的导...的网友还看了以下：
已知一个求函数的判断题,若函数表达式正确,但没有标明定义域,那么判断此命题是否正确?比如求得的函数 2020-05-23 …
证明多元函数的可微性有几种方法呢?证明多元函数可微性几种思路：1证偏导数连续2用定义3.用定义证貌 2020-06-02 …
基础题函数f（x）=ax+b/1+x²是定义在-1.1上的奇函数且f（1/2）=2/5求函数的解析 2020-06-03 …
数学函数证明设下面所考虑的函数都是定义在区间（-l,l)上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数, 2020-06-06 …
函数,证明设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-L,L）内的,证明：1.两个偶函数的和是偶函数, 2020-06-08 …
大一高数证明题设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-l,l）内的证明两个偶函数的和是偶函数,两个 2020-07-13 …
已知函数y=g(x)在区间（-3,0）上是减函数,且函数y=g(x-3)是偶函数,试比较g(-5) 2020-08-01 …
反函数是函数么?如果直接函数是单值函数,可是他的反函数未必是单值函数,那么这个反函数出现一对多的情 2020-08-03 …
关于C怨言函数的问题1.当被调函数的函数定义出现在主调函数之前时,在主调函数中可以不对被调函数作说明 2020-11-23 …
C++请高手帮忙14．下列说法中正确的是（）A．类定义中只能说明函数成员的函数头，不能定义函数体B． 2020-12-17 …