1+2+3+.+100=?经研究,这个问题的一般结论是：观察下面三个特殊的等式：1*2=3分之1*（1*2*3-0*1*2）2*3=3分之1*（2*3*4-1*2*3）3*4=3分之1*（3*4*5-2*3*4）将这三个等式的两边相加可以得到1*2+2*3+3*4=3分之1*3*

Question

1+2+3+.+100=?经研究,这个问题的一般结论是：
观察下面三个特殊的等式：
1*2=3分之1*（1*2*3-0*1*2）
2*3=3分之1*（2*3*4-1*2*3）
3*4=3分之1*（3*4*5-2*3*4）
将这三个等式的两边相加可以得到
1*2+2*3+3*4=3分之1*3*4*5=20
则
（1）1*2+2*3+.+100*101=?
（2）1*2+2*3+.+n(n+1)=?
（3）1*2*3+2*3*4+.+n(n+1)(n+2)=?

Answer 1

2.1*2+2*3+.+n(n+1)
=(1^2+1)+(2^2+2)+.+(n^2+n)
=(1^2+2^2+.n^2)+(1+2+.+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2---------(此为定理）
=n(n+1)(n+2)/3
3.1*2*3+2*3*4+.+n(n+1)(n+2)
=(1^3+3*1^2+2*1)+(2^3+3*2^3+2*2)+.+(n^3+3*n^2+2*n)
=(1^3+2^3+.n^3)+3(1^2+2^2+.n^2)+2(1+2+.+n)
=(n(n+1)/2)^2+3(n(n+1)(n+2)/6)+2(n(n+1)/2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
以此类推：
1*2*...*m+2*3*.*(m+1)+.+n*(n+1)*.(n+m-1)
=n(n+1)...(n+m)/(m+1)