已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为ν千米/小时（8＜v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当ν=12千米/小时

Question

已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为ν千米/小时（8＜v≤v₀）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当ν=12千米/小时，每小时的燃油费为720元，为了使全程燃油费最省，船的实际速度应为多少？

Answer 1

设每小时的燃料费为y₁，比例系数为k（k＞0），则y1=kv2；1分
当v=12时，y₁=720，即720=k•12²，解得k=5，∴y₁=5v²； 3分
设全程燃料费为y，依题意得
y=y₁•(200)/(v-8)=(1000v2)/(v-8)=1000（v+8+(64)/(v-8)）=1000（v-8+(64)/(v-8)+16）≥1000（2√((v-8)•(64)/(v-8))+16）=32000，6分
当v-8=(64)/(v-8)，即v=16时取等号；
∵8＜v≤v₀，∴当v_°≥16时，即v=16，全程燃料费最省；   9分
当v_°＜16时，令t=v-8+(64)/(v-8)，
任取8＜v₁＜v₂≤v₀，则0＜v₁-8＜8，0＜v₂＜8，
∴1-(64)/((v1-8)(v2-8))＜0，
∴t₁-t₂=（v₁-v₂）（1-(64)/((v1-8)(v2-8))）＞0，
即t=v-8+(64)/(v-8)在（8，v_°]上为减函数，当v=v₀时，y取最小值(1000v02)/(v0-8)；   13分
综上：当v_°≥16时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，
当v_°＜16时，令v=v₀，实际船速为（v₀-8）km/h时，全程燃料费最省，为(1000v02)/(v0-8)元.14分．