如图,在⊙O中,弦AE⊥BC于D并与⊙O交于点E,BC=6,AD=7,∠BAC=45°.求DE的长.

Question

如图,在⊙O中,弦AE⊥BC于D并与⊙O交于点E,BC=6,AD=7, ∠BAC=45°.求DE的长.

Answer 1

设DE=a,BD=b,过O作OH⊥AE于H
∵∠BOC=2∠BAC=90°,BO=OC
∴BC=√2BO=6,∴圆的半径BO=3√2
易得OH=DE=a,△ADC∽△BDE
∴BD/DE=AD/DC
即（3-a)/b=7/(3+x)……1
因为OH^2=r^2-(AE/2)^2
∴a^2=(3√2)^2-（（7+DE)/2）^2……2
联立1,2两式,解得b1=1,b2=13(此解舍）
所以a=√2=DE