推导y=sinx的倒数的过程y=sinx1.⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)请问第一步为什么这样推,具体过程是什么,有什么公式吗?2.⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)第二步

Question

推导y=sinx的倒数的过程
y=sinx
1.⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
请问第一步为什么这样推,具体过程是什么,有什么公式吗?
2.⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
第二步又是怎么回事呢?

Answer 1

第一步是根据导数定义的第一句话来的
导数定义为,当自变量的增量趋于零时
因变量的增量与自变量的增量之商的极限.
所以求导先要在自变量上加一个很小的值⊿x
然后看因变量的增量⊿y=sin(x+⊿x)-sinx
sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
这是根据三角函数转化来的
sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
是和差化积公式
sina-sinb=2cos[(a+b)/2]*sin[(a-b)/2]
第二部也是根据定义的第二句话来的
就是使⊿x趋向于0（就是第一个里说的加一个很小的值）
在⊿x趋向于0时,sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=1（这个你应该知道吧,高数第一章里的）
在⊿x趋向于0时,cos(x+⊿x/2)=cosx
所以y'=cosx
有点啰嗦了
不过希望帮到你了