“设X,Y为两个相互独立的随机变量,U=g(X),V=h(Y),则U与V独立,g和h为任意实函数”怎么证明

Question

“设X,Y为两个相互独立的随机变量,U=g(X),V=h(Y),则U与V独立,g和h为任意实函数”怎么证明

Answer 1

g,h是实函数的话,通常必须要求g,h是borel可测的函数.这时候,设B1,B2是任意两个Borel可测集,
P(U∈B1,V∈B2)=P(X∈g^(-1)(B1),Y∈h^(-1)(B2))=P(X∈g^(-1)(B1))P(Y∈h^(-1)(B2))=P(U∈B1)P(V∈B2)..g^(-1)表示g的逆