设二次函数f(x)=x²+bx+c(b,c∈R),且对任意实数α,β恒有f(sinα)≥0,f(2cos1.求证：b+c=-12.求证：c≥33.若函数f(sinα）的最大值为8,求b和c的值再补充一下：,f(2+cos)≤0

Question

设二次函数f(x)=x²+bx+c(b,c∈R),且对任意实数α,β恒有f(sinα)≥0,f(2cos
1.求证：b+c=-1
2.求证：c≥3
3.若函数f(sinα）的最大值为8,求b和c的值
再补充一下：,f(2+cos)≤0

Answer 1

1.取sinα=1,cosβ=-1即可
2.将b用c换,f(x)=x²-（c+1）x+c
取cosβ=1,即f（3）≤0可得c≥3
3.f(x)的对称轴为直线x=c+1/2,又因为sinα∈[-1,1],故原问题即为f(x)当∈[-1,1]时的最大值.
①当c+1/2＞1,即c＞1时,f(x)单调递减,故在x=-1处取得最大值2c+2=8,c=3
②当c+1/2＜-1,即c＜-3时,f(x)单调递增,故在x=1处取得最大值0,不合题意,舍去
③-1≤c+1/2≤1,即-3≤c≤1时.因为f(x)是图形开口向上的抛物线,故最大值在端点处取得,又由①②知,f(x)只能在x=-1处取得最大值,此时c=3,不合题意,舍去
综合①②③,b=-4,c=3