设a,b是不相等的正常数,x,y,都是正数,求证：a^2/x+b^2/y>=(a+b)^2/x+y,并指出等号成立的条件

Question

设a,b是不相等的正常数,x,y,都是正数,求证：a^2/x+b^2/y>=(a+b)^2/x+y,并指出等号成立的条件

Answer 1

因为(ay-bx)^2>=0
(ay)^2-2abxy+(bx)^2>=0
(ay)^2+(bx)^2>=2abxy
(ay)^2+(bx)^2+xy(a^2+b^2)>=2abxy+xy(a^2+b^2)
a^2y(x+y)+b^2x(x+y)>=xy(a+b)^2
因为x,y都是正数,不等式两边同时除以xy(x+y)
a^2/x+b^2/y>=(a+b)^2/(x+y)
得证
(ay-bx)^2>=0时取等号
即ay=bx时取等号