平行四边形内一点到相对两顶点的距离的平方和相等,求证这是矩形.

Question

平行四边形内一点到相对两顶点的距离的平方和相等,求证这是矩形.

Answer 1

设O是平行四边形ABCD内的一点,OA^2+OC^2=OB^2+OD^2,
过O作OM⊥AB于M,交DC于N,则
OA^2-OB^2=OD^2-OC^2,
∴AM^2-MB^2=DN^2-NC^2,
∴(AM+MB)(AM-MB)=(DN+NC)(DN-NC),
∴AB*(AM-MB)=DC*(DN-NC),AB=DC,
∴AM-MB=DN-NC,设为d,
∴AB=2MB+d=CD=2NC+d,
∴MB=NC,显然MB∥NC,
∴四边形BCNM是平行四边形,
∴BC∥MN,
∴BC⊥AB,
∴平行四边形ABCD是矩形.