高等数学以知球x^2+y^2+z^2小于等于2Rz，其中任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平方，求球体的质量，球体对xy平方的静力矩以及重心。

Question

高等数学
以知球x^2+y^2+z^2小于等于2Rz，其中任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平方，求球体的质量，球体对xy平方的静力矩以及重心。

Answer 1

球 x^2+y^2+z^2≤2Rz , 即 x^2+y^2+(z-R)^2≤R^2
球体的质量为 m = ∫∫∫ ρ(x,y,z)dv
= ∫∫∫ (x^2+y^2+z^2)dxdydz
= ∫dφ∫dθ∫ r^2*r^2sinφdr
= ∫sinφdφ∫dθ∫ r^4dr
= (2/5)π∫sinφdφ[r^5]
= (64/5)πR^5∫sinφ(cosφ)^5dφ
= -(64/5)πR^5∫(cosφ)^5d(cosφ)
= -(32/15)πR^5[(cosφ)^6] = (32/15)πR^5.

球体对Oxy平面的静力矩为 M = ∫∫∫ zρ(x,y,z)dv
= ∫∫∫ z(x^2+y^2+z^2)dxdydz
= ∫dφ∫dθ∫ rcosφ*r^2*r^2sinφdr
= ∫sinφcosφdφ∫dθ∫ r^5dr
= (1/3)π∫sinφcosφdφ[r^6]
= (64/3)πR^6∫sinφ(cosφ)^7dφ
= -(64/3)πR^6∫(cosφ)^7d(cosφ)
= -(8/3)πR^6[(cosφ)^8] = (8/3)πR^6

质心立坐标 z = M/m = (8/3)πR^6/[(32/15)πR^5] = (5/4)R
质心坐标 C(0, 0, 5R/4).