设x+y+z=9,则u=√(x^2+4)+√(y^2+9)+√(x^2+16)的最小值为

Question

设x+y+z=9,则u=√(x^2+4)+√(y^2+9)+√(x^2+16)的最小值为

Answer 1

直接平方即可：
u^2=x^2+y^2+z^2+29+2(√(x^2+4)(y^2+9)+√(y^2+9)(z^2+16)+√(z^2+16)(x^2+4))
由柯西不等式得：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)² 　　等号成立条件：ad=bc,即a/c=b/d
≥x²+4+y²+9+z²+16+2(xy+6)+2(yz+12)+2(zx+8)
=(x+y+z)²+(2+3+4)² （上一步展开合并就行了）
=81+81
=162
u>=√162=9√2
取等：x/y=2/3,y/z=3/4,z/x=4/2
另外注意你的题目是x+y+z=9还是x+y+z=19.因为网上存在的题目普遍是19,这题我是按9算的