数列an的前n项和为sn,且2sn=2-(2n-1)an(n属于正整数)问（1）若bn=(2n+1)sn,求bn的通项（2）证；1/b1的平方+1/b2的平方+.+1/bn的平方

Question

数列 an 的前n项和为sn ,且2sn=2-(2n-1)an (n属于正整数) 问（1）若bn=(2n+1)sn ,求bn的通项
（2）证；1/b1的平方+1/b2的平方+.+1/bn的平方

Answer 1

（1）an=sn-sn-1
带入得到2sn=2-(2n-1)(sn-sn-1) =2-(2n-1)sn+(2n-1)sn-1
整理得到(2n+1)sn=(2n-1)sn-1+2
bn=(2n+1)sn 则有bn=bn-1 +2
bn=b1+2(n-1)
另一方面把n=1带入条件 得到2a1=2-2a1+a1 a1=2/3 则b1=2
所以bn=2+2n-2=2n
（2）1/b1的平方+1/b2的平方+.+1/bn的平方=1/4+1/16+1/36+……+1/n²
<1/6+1/20+……+1/（n+1）n
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+1/n-1/(n+1)
=1/2-1/(n+1)<1/2