已知非零向量a,b满足a-b的模=a+b的模=λ·b的模（λ＞=2）,则向量a-b与a+b的夹角的最大值是?

Question

已知非零向量a,b满足a-b的模=a+b的模=λ·b的模（λ＞=2）,则向量a-b与a+b的夹角的最大值是?

Answer 1

a-b的模=a+b的模
∴ (a-b)²=(a+b)²
∴ 4a.b=0
∴ a⊥b
a+b的模=λ·b的模
∴ (a+b)²=(λ·b)²
∴ a²+b²+2a.b=λ²b²
∴ a²=(λ²-1)|b|²
(a+b)·(a-b)=|a|²-|b|²=(λ²-2)|b|²
|a-b|²=|a+b|²=|a|²+|b|²=λ²|b|²
∴ cos
=(a+b)·(a-b)/(|a+b|*|a-b|)
=(λ²-2)|b|²/(λ²|b|²)
=(λ²-2)/λ²
=1-2/λ²
∵ λ≥2,
∴ λ²≥4,
∴ -1/λ²∈[-1/4,0)
∴ 1-2/λ²∈[1/2,1)
即夹角最大时,余弦值是1/2
此时夹角是60°.