当x趋近于0时,为什么cosx-1=-1/2x^2?还有为什么sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Question

当x趋近于0时,为什么cosx-1=-1/2x^2?还有为什么sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Answer 1

lim(x→0) cosx-1
=lim(x→0) cos^2(x/2)-sin^2(x/2)-1 ——二倍角公式
=lim(x→0) -2sin^2(x/2) ——代入1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)
lim(x→0) -2[(x/2)^2]
=-1/2x^2
sin(x+Δx)-sinx
=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) ——和差化积公式