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在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交与点E,F（1）求证：△BOE全等△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明结论.
题目详情
在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交与点E,F
（1）求证：△BOE全等△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明结论.
（1）求证：△BOE全等△DOF；
（2）当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明结论.
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：ABCD是矩形,对角线互相平分
因此OB=OD
因为AB‖CD,所以∠BEO=∠DFO,
又∠BOE=∠DOF
所以△BOE≌△DOF
（2）当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形
证明：已证两三角形全等,所以BE=DF
ABCD是矩形,AB=CD
因此AB+BE=CD+DF,即AE=CF
且AE‖CF
因此四边形AECF是平行四边形
EF⊥AC,AECF是对角线互相垂直的平行四边形
所以是菱形
因此OB=OD
因为AB‖CD,所以∠BEO=∠DFO,
又∠BOE=∠DOF
所以△BOE≌△DOF
（2）当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形
证明：已证两三角形全等,所以BE=DF
ABCD是矩形,AB=CD
因此AB+BE=CD+DF,即AE=CF
且AE‖CF
因此四边形AECF是平行四边形
EF⊥AC,AECF是对角线互相垂直的平行四边形
所以是菱形
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