已知函数f（x）=ex+ax-1（a∈R，且a为常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，求a的值；（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R，且a为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，求a的值；
（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x+ax-1
∴f′（x）=e^x+a
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当a＜0时，令f′（x）=e^x+a=0，则x=ln（-a）
当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0，
此时f（x）的单调递减区间为（-∞，ln（-a））；单调递增区间为（ln（-a），+∞）；
（2）当a＜0时，若方程f（x）=0只有一解，
即函数f（x）=e^x+ax-1有且只有一个零点
由（1）得f[ln（-a）]=e^x+ax-1=0，又∵f（0）=e⁰+0-1=0，
故ln（-a）=0，解得a=-1
（3）若对所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x+ax-1≥e^-x-ax-1
e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=e^x-e^-x+2ax，
∵g（0）=0
∴g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即g'（x）=e^x-e^-x+2a≥0在（0，+∞）上恒成立
∵e^x-e^-x+2a≥2+2a
∴a≥-1