若实数a,b满足ab一4a一b十1=0（a>1）,求（a+1）（b+2）的最小值

Question

若实数a,b满足ab一4a一b十1=0（a>1）,求（a+1）（b+2）的最小值

Answer 1

∵a＞1,∴a－1＞0.
令（a＋1）（b＋2）＝k,则：ab＋2a＋b＋2＝k,又ab－4a－b＋1＝0,
∴（ab＋2a＋b＋2）－（ab－4a－b＋1）＝k,∴6a＋2b＋1＝k,∴b＝（k－1－6a）/2.
将b＝（k－1－6a）/2代入到ab－4a－b＋1＝0中,得：
a［（k－1－6a）/2］－4a－（k－1－6a）/2＋1＝0,
∴a（k－1）－6a^2－8a－（k－1）＋6a＋2＝0,
∴（a－1）（k－1）
＝6a^2＋2a－2＝6［（a－1）＋1］^2＋2（a－1）＝6（a－1）^2＋14（a－1）＋6,
∴k－1＝6（a－1）＋6/（a－1）＋14≧12＋14＝26,∴k≧27.
∴k的最小值是27,即：（a＋1）（b＋2）的最小值是27.