压轴题：设f(x)=xe^(-x),g(x)=ax^2-2ax+1.若f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,求参数a的取值范围.求规范解答.望不吝赐教.更希望指导多种思路、方法.感激不尽!

Question

压轴题：设f(x)=xe^(-x),g(x)=ax^2-2ax+1.若f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,求参数a的取值范围.
求规范解答.望不吝赐教.更希望指导多种思路、方法.感激不尽!

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“数学之美”团员448755083为你解答!
f(x) = xe^(-x)
f'(x) = e^(-x) - xe^(-x) = (1-x)e^(-x)
∵x＞1
∴1-x＜0
而e^(-x)＞0
∴f'(x)=(1-x)e^(-x)＜0
即f(x)在(1,+∞)是单调减函数
f(1)=1/e
即在(1,+∞)上恒有f(x)＜1/e
要使f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,只需要g(x)的最小值大于等于1/e就可以了
g(x)=a(x-1)²+1-a
1°当a = 0时,g(x)=1＞1/e成立,故而a=0满足题意；
2°当a＜0时,g(x)是一个开口向下的抛物线,在(1,+∞)上是趋近于负无穷的,因此没有最小值,故不满足题意
3°当a＞0时,g(x)是一个开口向上的抛物线,对称轴为x=1,因此,可以看到g(x)在(1,+∞)也是没有最小值的,因为它的最小值取不到g(1)=1-a,故而只需要1-a≥1/e,可得0＜a≤(e-1)/e
综上可知a的取值范围是[0,(e-1)/e]
对于像这样的函数不等式的问题,一般来讲有这样两种方法：
1、构造新函数求最值法,比如令u(x)=f(x)-g(x),原命题即等价于u(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,然后对u(x)求导求得最值或特殊情况用均值不等式等方法.
2、定支法,一般来说函数不等式压轴题都是带有变参数的,那么我们一般可以将其中的某支函数的值的范围求出来,然后根据题目要求来进行,比如上面的这题,f(x)的范围可以很简单求得,那么要使g(x)大于f(x)恒成立,就只需要g(x)的最小值大于f(x)的最大值即可,g(x)的范围与参数有关,那么我们就要求得各种情况下的g(x)最小值来进行讨论.
总的来说,不管用什么方法,带有参数的题目一般都不可避免的需要讨论,分类讨论的思想是中学数学必须掌握的方法.
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