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如图,等腰△ABC的顶角∠A=36°.⊙O和底边BC相切于BC的中点D,并与两腰相交于E、F、G、H四点,其中点G、F分别是两腰AB、AC的中点.求证:五边形DEFGH是正五边形.
题目详情
如图,等腰△ABC的顶角∠A=36°.⊙O和底边BC相切于BC的中点D,并与两腰相交于E、F、G、H四点,其中点G、F分别是两腰AB、AC的中点.求证:五边形DEFGH是正五边形.
▼优质解答
答案和解析
证明:连结DF、DG,
∵G、F分别是两腰AB、AC的中点.D是等腰三角形ABC底边的中线,
∴GD∥AC,GD=AF=
AC,DF∥AB,DF=AG=
AB,
∴四边形AFDG是平行四边形,
∵AB=AC,
∴GD=DF,
∴四边形AFDG是菱形,
∴∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°,
∵BC是切线,
∴∠CDE=∠CFD=36°,
∵DF∥AB,
∴∠FDC=∠B=72°,
∴∠EDF=36°,
同理:∠GDH=36°,
∴∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°,
∴
=
=
=
=
,
即D、E、F、G、H将⊙O五等分,
∴五边形DEFGH是正五边形.
∵G、F分别是两腰AB、AC的中点.D是等腰三角形ABC底边的中线,
∴GD∥AC,GD=AF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴四边形AFDG是平行四边形,
∵AB=AC,
∴GD=DF,
∴四边形AFDG是菱形,
∴∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°,
∵BC是切线,
∴∠CDE=∠CFD=36°,
∵DF∥AB,
∴∠FDC=∠B=72°,
∴∠EDF=36°,
同理:∠GDH=36°,
∴∠BGD=∠CFD=∠EFD=∠FDG=∠GDH=36°,
∴
HD |
DE |
EF |
FG |
GH |
即D、E、F、G、H将⊙O五等分,
∴五边形DEFGH是正五边形.
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