早教吧作业答案频道 -->数学-->
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
题目详情
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证:AD^2+BC BD=AB^2
▼优质解答
答案和解析
过点P作两圆的公切线交BD于E.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APD=∠ACD,∴∠BPD=∠ACB.
∵PE、BE分别切⊙O1于P、E,∴∠EPB=∠ABD,∴∠BPD=∠DPE+∠ABD,
∴∠ACB=∠DPE+∠ABD.
∵PE切⊙2于P,∴∠DPE=∠BAD,∴∠ACB=∠BAD+∠ABD=180°-∠ADC.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APC=180°-∠ADC,∴∠ACB=∠APC,又∠BAC=∠CAP,
∴△ABC∽△ACP,∴∠ABD=∠ACP.
∵A、P、C、D共圆,∴∠ADP=∠ACP,∴∠ADP=∠PBD,∴AD是△PBD外接圆的切线,
∴由切割线定理,有:AD^2=AP×AB=(AB-BP)AB=AB^2-AB×BP.
对⊙2来说,由割线定理,有:AB×BP=BC×BD,∴AD^2=AB^2-BC×BD,
∴AD^2+BC×BD=AB^2.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APD=∠ACD,∴∠BPD=∠ACB.
∵PE、BE分别切⊙O1于P、E,∴∠EPB=∠ABD,∴∠BPD=∠DPE+∠ABD,
∴∠ACB=∠DPE+∠ABD.
∵PE切⊙2于P,∴∠DPE=∠BAD,∴∠ACB=∠BAD+∠ABD=180°-∠ADC.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APC=180°-∠ADC,∴∠ACB=∠APC,又∠BAC=∠CAP,
∴△ABC∽△ACP,∴∠ABD=∠ACP.
∵A、P、C、D共圆,∴∠ADP=∠ACP,∴∠ADP=∠PBD,∴AD是△PBD外接圆的切线,
∴由切割线定理,有:AD^2=AP×AB=(AB-BP)AB=AB^2-AB×BP.
对⊙2来说,由割线定理,有:AB×BP=BC×BD,∴AD^2=AB^2-BC×BD,
∴AD^2+BC×BD=AB^2.
看了 如图,已知圆O1,圆O2 外...的网友还看了以下:
已知一个圆C与y轴相切,圆心C在直线l:x-3y=0上,且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为2倍 2020-05-16 …
已知,PAB为圆的割线,交圆于A、B两点,PC切圆于C点,角CPB的平分先交AC与点E(A点在P、 2020-05-20 …
圆o为三角形abc的内切圆角c=90ao的延长线交bc于d 2020-06-06 …
已知角心圆C与y轴相切,圆心C在直线L1:x-3y=0上,且截直线L2:x-y=0所得的玄长为2倍 2020-07-02 …
已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线y=-x的距离等于根号21、求圆C的方程2、若直线l与x轴正 2020-07-31 …
如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90度,OA的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的 2020-07-31 …
如图所示,圆i是R他△ABC的内切圆,角C=90°,圆i和三边分别相切于点D,E,F.如图,圆I是 2020-08-01 …
2道初中关于内切圆的数学题1.已知圆O是直角三角形ABC的内切圆,角C等于90°.(1)若AC等于 2020-08-01 …
半径为R和r的两圆外切于A(R大于r)外公切线BC分别切圆1和圆2于B,C,过A作BC的垂线,垂足 2020-08-01 …
三角形内切圆1、三角形的内切圆有关概念,作法;2、三角形内心的位置,数量特征;3、切线长定义,切线长 2020-11-06 …