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如图,直线y=kx+b分别交y轴、x轴于A(0、2)、B(4、0))两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)设N(x、y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点N作直线MN
题目详情
如图,直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A(0、2)、B(4、0))两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)设N(x、y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M,若点N在第一象限内.试问:线段MN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)设N(x、y)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点N作直线MN垂直x轴交直线AB于点M,若点N在第一象限内.试问:线段MN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=kx+b分别交y轴、x 轴于A(0、2)、B(4、0))两点,
∴
,
解得:
.
∴直线为:y=-
x+2,…(3分)
将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得:c=2,…(4分)
将x=4,y=0代入y=-x2+bx+2,
得:0=-16+4b+2,
解得:b=
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+
x+2;…(6分)
(2)存在.
假设x=t时,线段MN的长度是否存在最大值,
由题意易得:M(t,-
t+2),N(t,-t2+
t+2),…(8分)
∴MN=(-t2+
t+2)-(-
t+2)=-t2+4t=-(t-2)2+4,…(10分)
∴当t=2时,MN有最大值4;…6 分
(3)由题意可知,D的可能位置有如图三种情形.…(11分)
当D在y轴上时,
设D的坐标为(0,a)
由AD=MN得|a-2|=4,
解得a1=6,a2=-2,
∴D为(0,6)或D(0,-2);…(13分)
当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点,
∵直线D1N的解析式为:y=-
x+6,直线D2M的解析式为:y=
x-2,
由两方程联立解得D为(4,4).…(14分)
综上可得:所求的D为(0,6),(0,-2)或(4,4).
∴
|
解得:
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∴直线为:y=-
1 |
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将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得:c=2,…(4分)
将x=4,y=0代入y=-x2+bx+2,
得:0=-16+4b+2,
解得:b=
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2 |
∴抛物线的解析式为:y=-x2+
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(2)存在.
假设x=t时,线段MN的长度是否存在最大值,
由题意易得:M(t,-
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∴MN=(-t2+
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∴当t=2时,MN有最大值4;…6 分
(3)由题意可知,D的可能位置有如图三种情形.…(11分)
当D在y轴上时,
设D的坐标为(0,a)
由AD=MN得|a-2|=4,
解得a1=6,a2=-2,
∴D为(0,6)或D(0,-2);…(13分)
当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点,
∵直线D1N的解析式为:y=-
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由两方程联立解得D为(4,4).…(14分)
综上可得:所求的D为(0,6),(0,-2)或(4,4).
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